y=cotx ফাংশনটি কোন বিন্দুতে বিচ্ছিন্ন?

একটি ফাংশন বিচ্ছিন্ন (discontinuous) হয় যদি নির্দিষ্ট কোনো বিন্দুতে ফাংশনটির মান অসংজ্ঞায়িত (undefined) হয়।

প্রদত্ত ফাংশনটি হলো \(y = \cot x\)।

আমরা জানি, \(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\)।

এই ফাংশনটি তখনই অসংজ্ঞায়িত হবে যখন এর হর (denominator) অর্থাৎ \(\sin x = 0\) হবে।

\(\sin x = 0\) হয় যখন \(x = n\pi\), যেখানে \(n\) একটি পূর্ণসংখ্যা (\(0, \pm 1, \pm 2, \dots\))।

এখন, আমরা অপশনগুলো যাচাই করি:

    
• ১. \(x = \pi\): এখানে \(n=1\)। \(\sin \pi = 0\)। যেহেতু হর শূন্য, তাই \(x=\pi\) বিন্দুতে ফাংশনটি বিচ্ছিন্ন।
    
• ২. \(x = \frac{\pi}{2}\): \(\sin \frac{\pi}{2} = 1 \neq 0\)। তাই \(x = \frac{\pi}{2}\) বিন্দুতে ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন।
    
• ৩. \(x = \frac{2\pi}{3}\): \(\sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0\)। তাই \(x = \frac{2\pi}{3}\) বিন্দুতে ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন।
    
• ৪. \(x = \frac{3\pi}{2}\): \(\sin \frac{3\pi}{2} = -1 \neq 0\)। তাই \(x = \frac{3\pi}{2}\) বিন্দুতে ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন।

সুতরাং, \(y = \cot x\) ফাংশনটি \(x=\pi\) বিন্দুতে বিচ্ছিন্ন।